En la geometría analítica del espacio tridimensional, las rectas y los planos permiten describir trayectorias y superficies utilizando coordenadas y vectores. Una recta en el espacio queda determinada por un punto y un vector director. Su forma vectorial se expresa como r = r₀ + t·v, donde r₀ es el vector posición del punto y v es el vector director. De esta expresión se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta, que indican cómo varían las coordenadas x, y, z según el parámetro t.

Un plano en el espacio se define mediante un punto y un vector normal, que es perpendicular al plano. Su ecuación general tiene la forma Ax + By + Cz + D = 0, donde el vector ⟨A, B, C⟩ representa el vector normal. Esta ecuación permite verificar si un punto pertenece al plano y analizar su relación con rectas u otros planos.

Las posiciones relativas describen cómo se relacionan rectas y planos entre sí. Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales y perpendiculares si el producto escalar de dichos vectores es cero. Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al vector normal del plano. Estas relaciones se interpretan mediante operaciones vectoriales.

Los ángulos en el espacio se calculan principalmente entre vectores, ya sean vectores directores de rectas o vectores normales de planos. El ángulo se obtiene usando el producto escalar y los módulos de los vectores, lo que permite medir la inclinación entre direcciones o superficies.

Las distancias en el espacio son fundamentales para resolver problemas prácticos. La distancia de un punto a un plano se calcula con una fórmula que relaciona las coordenadas del punto con los coeficientes de la ecuación del plano. Estas herramientas permiten modelar situaciones reales como trayectorias, superficies y separaciones espaciales.