Una variable aleatoria es una forma de asignar números a los resultados de un experimento aleatorio. Puede ser discreta o continua, según el tipo de valores que tome.

Una variable aleatoria discreta asume valores específicos y contables, como el número de caras obtenidas al lanzar monedas o el puntaje al lanzar un dado. A cada valor posible se le asigna una probabilidad.
La esperanza matemática o valor esperado representa el promedio teórico de los resultados si el experimento se repite muchas veces. Se calcula multiplicando cada valor posible por su probabilidad y sumando los resultados.
La varianza mide la dispersión de los valores respecto a la esperanza; indica qué tan alejados están, en promedio, los resultados del valor esperado. Una varianza grande implica mayor variabilidad.

Por ejemplo, al lanzar un dado justo, todos los resultados tienen la misma probabilidad. El valor esperado no representa un resultado real del dado, sino un promedio teórico del comportamiento del experimento.

Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, como el tiempo, la estatura o el peso. En este caso no se asignan probabilidades a valores exactos, sino a intervalos de valores.
Las variables continuas se describen mediante una función de densidad de probabilidad, que cumple dos condiciones: sus valores no son negativos y el área total bajo la curva es igual a uno. La probabilidad de que la variable esté en un intervalo se interpreta como el área bajo la curva en ese intervalo.

La esperanza de una variable continua se interpreta como el valor promedio teórico y se obtiene mediante el cálculo de áreas ponderadas. La varianza indica la dispersión de los valores alrededor de ese promedio, de forma similar al caso discreto.

En ambos tipos de variables, la esperanza y la varianza permiten analizar el comportamiento promedio y la variabilidad de fenómenos aleatorios en contextos reales.