La derivada de una función mide cómo cambia el valor de la función respecto a su variable independiente. En un punto x=a, la derivada f′(a) se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto, o como la tasa de cambio instantánea si la función representa un fenómeno físico, económico o natural. Por ejemplo, si f representa posición respecto al tiempo, f′(a) indica la velocidad en el instante a.

Signo de la derivada:

• $f'(x)>0$

  f′(x)>0 → la función está creciendo localmente.

• $f'(x)<0$

  f′(x)<0 → la función está decreciendo localmente.

• $f'(x)=0$

  f′(x)=0 → posible máximo, mínimo o punto crítico.

Propiedades importantes de la derivada:

1. Linealidad:

   $(af+bg)'=af'+bg'$

   , combinando constantes y funciones.

2. Constante: la derivada de una constante es cero.

3. Potencia:

   $(x^n)'=nx^{n-1}$

   , aplicable a exponentes reales donde la función esté definida.

4. Producto:

   $(uv)'=u'v+uv'$

5. Cociente:

   $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$v\neq 0$

6. Cadena:

   $(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$

   para funciones compuestas.

7. Si f es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto.

Interpretación práctica:

• La derivada permite analizar crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos locales, y concavidad si se aplica la segunda derivada.

• Por ejemplo, si una función de costo

  C(q) tiene C′(q) pequeño, significa que producir una unidad adicional casi no incrementa el costo.

• En física, s(t) posición y v(t)=s′(t) velocidad, con v(t)>0 indicando movimiento hacia adelante y v(t)<0 hacia atrás.

Ejemplo breve:
Si

Los puntos críticos

permiten determinar extremos locales.
Signo de f′ entre intervalos:

• (−∞,−1) → + (crece)

• (−1,1) → − (decrece)

• (1,∞) → + (crece)

Esto demuestra cómo la derivada refleja comportamiento de la función en intervalos y puntos específicos.