La derivada de una función en un punto es una herramienta matemática que permite calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un valor específico de x. Se interpreta como la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto.

Definición formal:
Si \( f \) es una función y \( a \) un número en su dominio, la derivada de \( f \) en \( a \), denotada \( f′(a) \), se define como:

​Este límite, llamado cociente incremental, mide el cambio de \( f(x) \) cuando \( x \) varía ligeramente alrededor de \( a \).

Interpretaciones:

• Geométrica: \( f′(a) \) es la pendiente de la recta tangente a la curva en \( x=a \).

• Física: representa la velocidad instantánea si \( f \) describe la posición de un objeto respecto al tiempo.

• Analítica: es el valor que resulta de evaluar la función derivada en \( x=a. \)

Cuando no existe:
La derivada en un punto no existe si:

• La función es discontinua en ese punto.

• Presenta un ángulo agudo o cúspide (límite lateral izquierdo y derecho distintos).

• La pendiente de la tangente es vertical (infinita).

Procedimiento para calcular

por definición:

1. Sustituir

   $f(a+h)$

   y

   $f(a)$

   f(a) en el cociente incremental.

2. Simplificar el numerador.

3. Factorizar y cancelar h si es posible.

4. Calcular el límite cuando h tiende a cero.

Ejemplo:
Si

, hallar

por definición.

Al tomar el límite cuando

, resulta