Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas busca encontrar los valores de x, y y z que satisfacen simultáneamente las tres ecuaciones planteadas. Existen varios métodos para resolver estos sistemas, entre ellos: sustitución, Cramer y eliminación de Gauss.

Método de Sustitución:
Consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones y sustituirla en las otras dos. Esto reduce el sistema a uno de dos ecuaciones con dos incógnitas, que se resuelve del modo habitual. Finalmente, se sustituye nuevamente para hallar la tercera variable. Este método es útil cuando una variable tiene un coeficiente de 1 o -1.

Método de la Regla de Cramer:
Este método utiliza determinantes. Se representa el sistema mediante matrices. Se calcula el determinante de la matriz de coeficientes (D) y luego los determinantes Dx, Dy y Dz, sustituyendo una columna de la matriz por la columna de los términos independientes. Las soluciones se obtienen dividiendo cada determinante individual entre D:
x = Dx / D, y = Dy / D, z = Dz / D.
Este método es práctico cuando se trabaja con sistemas compatibles determinados y no hay ceros en los determinantes que impidan el cálculo.

Método de Gauss (eliminación):
Transforma el sistema en una matriz aumentada. A través de operaciones elementales entre filas (sumar, restar o multiplicar por constantes), se convierte la matriz en forma escalonada (triangular superior), lo cual permite resolver desde la última ecuación hacia la primera usando sustitución regresiva. Es un método sistemático y útil para sistemas grandes o para aplicar con hojas de cálculo como Excel o software como GeoGebra.

Cada método tiene ventajas dependiendo del tipo de sistema y de los recursos disponibles. Comprenderlos y saber aplicarlos permite seleccionar la mejor estrategia para resolver el sistema de manera eficiente.